Влияние погрешностей задания отсчетов функций на точность дифференцирования

При практической реализации численных алгоритмов дифференцирования на ЭВМ принципиальным является вопрос, связанный с устойчивостью разрабатываемых алгоритмов по отношению к методическим погрешностям и погрешностям задания отсчетов дифференцируемых функций. Последний вид погрешностей связан, например, с ошибками округления или измерения, которые необходимо учитывать при решении задачи оценивания.

Покажем, что математический аппарат N-кратного дифференцирования на основе ряда Котельникова в большинстве практически важных случаев является более устойчивым по отношению к случайным ошибкам задания отсчетов дифференцируемых функций по сравнению с традиционными методами, предполагающими использование конечно-разностных схем.

Пусть φ(t) - произвольная функция, методическая погрешность N-кратного дифференцирования которой не превышает величины . Считаем также заданным вектор отсчетов где - вектор-столбец отсчетов дифференцируемой функции φ(t); - вектор-столбец ошибок задания отсчетов исходной функции φ(t) на отрезке [-Т, Т]. Принимаем, что ошибка является векторной случайной величиной, имеющей нулевое математическое ожидание и соответствующую корреляционную матрицу где - дисперсия.

Учитывая, что модель отсчетов предполагает наличие гауссовских ошибок, а формулы N-кратного дифференцирования на основе ряда Котельникова соответствуют линейным преобразованиям над отсчетами исходной функции, корреляционную матрицу ошибок вычисления значений компонент вектора производных можно представить в следующем виде [2]:

(2.50)

где - матрица дифференцирования.

Если матрица является диагональной, причем

то элементы матрицы можно определить следующим образом:

(2.51)

для четных ;

(2.52)

для нечетных .

Анализ выражений (2.51) и (2.52) показывает, что степень устойчивости результатов дифференцирования к случайным ошибкам задания отсчетов функции φ(t) в основном определяется величиной Поскольку метод N-кратного дифференцирования на основе ряда Котельникова работоспособен при достаточно больших значениях Δt (для функций с «хорошими» спектральными свойствами), а традиционные (конечно-разностные) методы - лишь при малых значениях , то можно утверждать, что в большинстве практически важных случаев, встречающихся при решении задач оценивания, может быть достигнута более высокая устойчивость к указанным ошибкам. Очевидно, что чем «лучше» спектральные свойства функции φ(t) (уже ее спектр), тем больше Δt, и, следовательно, меньшие значения дисперсии

Перейти на страницу: 1 2 3

Еще статьи по теме

Проектирование системы передачи дискретной информации
Прошло более 40 лет со времени разработки и внедрения первой отечественной аппаратуры передачи АПД. Потребность в новом виде связи - передаче дискретных сообщений - определилась широким распространением автоматизированных сис ...

Разработка универсальной микропроцессорной системы сбора сигналов с заданными параметрами
В металлургии одной из проблем на пути повышения качества производимого продукта, является проблема обнаружения шлака в струе металла, переливаемого из одной емкости в другую (из конвертора или печь-ковша в сталь-ковш, из ста ...

Главное меню

© 2019 / www.techsolid.ru