Интерполяция функций с финитным спектром

В формуле (2.3) предполагается использование неограниченного числа отсчетов функции f(t). Очевидно, что для конечного числа отсчетов применение формулы (2.3) без дополнительных ограничений приводит к неединственности решения интерполяционной задачи. Для того чтобы данное решение было единственным, обычно сужают класс функций, в котором решается интерполяционная задача. Укажем три известных способа введения указанных ограничений.

Первый способ состоит в специальном задании отсчетов вне того интервала, на котором определена функция. Второй способ заключается во введении дополнительного ограничения экстремального типа: из всех ФФС в интервале (-Ω, Ω), обладающих заданными величинами отсчетов в конечном числе узлов, выбирается та, которая минимизирует некоторый функционал. Третий способ предполагает ограничение энергии функции вне заданного интервала и подбор минимального числа степеней свободы (свободных параметров), при котором достигается требуемая точность приближения функции.

Рассмотрим конкретные примеры применения этих различных подходов.

При первом подходе положим равными нулю все отсчеты функции f(t), кроме тех, которые заданы на отрезке [0, Т]. Отсчеты берутся в моменты 0 ≤ t0 < t1 < . < tK ≤ Т. Такая интерполяционная задача имеет бесконечное множество решений, поскольку не заданы отсчеты функции f(t) вне отрезка [0,T].

Если же положить

f(tk) = 0 (2.4)

при k < 0 и k > К, т.е. считать, что все отсчеты вне отрезка [0, Т] равны нулю, то интерполяционная задача имеет единственное решение. Например, в случае равномерно следующих отсчетов из формулы (2.3) получаем общее представление для множества функций из класса , отсчеты которых равны нулю вне отрезка [0, T]:

(2.5)

Число отсчетов, которые берутся внутри отрезка [0, T], здесь равно К + 1 = 2FmaxT + 1, т.е. считаем, что на отрезке [0, T] укладывается целое число интервалов длительности Δt. Следует особо подчеркнуть, что если все отсчеты вне отрезка [0, T] равны нулю, то из этого вовсе не вытекает, что функция f(t) тождественно равна нулю вне отрезка [0, T].

Обратимся теперь ко второму из указанных подходов к ограничению класса функций. В качестве примера рассмотрим функции с минимальной энергией. Среди всех функций класса выделим ту, для которой полная энергия минимальна:

(2.6)

Нетрудно указать представление для этого класса функций с минимальной энергией, который мы обозначим через . Класс - это подмножество класса , следовательно, по теореме отсчетов для любой из функций имеем представление вида (2.3).

Члены ряда (2.3) попарно ортогональны на всей оси в силу соотношений

(2.7)

Поэтому, возводя обе части равенства (2.3) в квадрат, раскрывая скобки и интегрируя почленно, получаем

(2.8)

Предположим сначала, что отсчеты на отрезке [0, T] берутся в моменты Поскольку в правой части равенства (2.8) стоит ряд из неотрицательных величин, причем отсчеты fk, фиксированы, выражение (2.8) достигает минимума, когда все остальные отсчеты обращаются в нуль. Следовательно, в том случае, когда отсчеты на отрезке [0, T] берутся в моменты , ФФС и минимальной энергией задаются формулой (2.5).

Таким образом, для восстановления функции рассматриваемого класса достаточно знать лишь отсчеты fk, и в классе эта интерполяционная задача имеет единственное решение.

Перейти на страницу: 1 2 

Еще статьи по теме

Проектирование электронного медицинского термометра
Проектируемый прибор- электронный медицинский термометр, в простонародье градусник. Необходим для точного измерения температуры человеческого организма и дальнейшей постановки правильного диагноза. Среди методов выявления быт ...

Повышение точности угловых координат при использовании фазированных антенных решеток в системах радиолокации
Происшедшие изменения военно-политической обстановки в Европе привели к некоторому ослаблению международной напряженности и повороту от конфронтации к ограниченному п ...

Главное меню

© 2020 / www.techsolid.ru